Trigonometri

PENGERTIANPada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras.

Sin a  = a/c Cos a = b/c tg a   = a/b

cosec a = c/a sec a      = c/b ctg a    = b/a

HUBUNGAN-HUBUNGAN

ctg a    = 1/tg a sec a    = 1/cos a cosec a = 1/sin a

tg a = sin a / cos a sin2 a + cos2 a = 1 tg2 a + 1 = sec2 a

Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran.

2p rad = 360° p rad  = 180° 1 rad  = 57,29°

TANDA-TANDA FUNGSI Kuadran I 0° - 90° II 90° - 180° III 180° - 270° IV 270° - 360° Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

SUDUT ISTIMEWA           0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 1/2 ½ Ö2 ½ Ö3 1 0 -1 0 cos 1 ½ Ö3 ½ Ö2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 1/3 Ö3 1 Ö3 ~ 0 ~ 0 Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a  tan (90 - a) = cot a Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a  tan (90 + a) = - cot a Sudut (180 - a)sin (180 - a) = sin a  Cos (180 - a) = - Cos a  tan (180 - a) = - tan a Sudut (180 + a)sin (180+a) = -sina  Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a  tan (270 - a) = ctg a Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a  Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a  Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a Sudut Negatif sin (-a)  = - sin a Cos (-a) = Cos a tan (-a) = - tan a Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV. Keterangan : Untuk a sudut lancip Kuadran Hubungan I a atau (90 - a) II (180 - a) (90 + a) III (180 + a) (270 - a) IV (360 - a) (270 + a) RINGKASAN Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan                                           kuadran Sudut (90 ± a) ; (270 ± a)    ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan                                         kuadran DALIL SINUS   a   =   b   =   c   sin a   sin b   sin d LUAS SEGITIGA a² = b² + c² - 2 bc cos a b² = a² + c² - 2 ac cos b c² = a² + b² - 2 ab cos d DALIL COSINUS Luas = ½ ab sin d = ½ ac b= ½ bc a Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :                                 L  = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c)) s  = setengah keliling segitiga    = ½ (a+b+c)LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA 1. Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalamdidapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan :                                        rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s 2. Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luardidapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL =    a     =    b    =     c             sin a      sin b     sin d rL =                abc                                        4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)] 3. Lingkaran Singgung Segitiga Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalamsudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tigalingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC danmenyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC                             = Ö s(s-b)(s-c)                    (s-a)rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC                            = Ö s(s-a)(s-c)                    (s-b)rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB                            = Ö s(s-a)(s-b)                    (s-c)

Koordinat Cartesius titik P(xp , yp)  Koordinat Kutub titik P (r, q)r = jarak titik O ke P a = sudut yang dibentuk antara garis       hubung OP dengan sumbu x(+) Terdapat hubungan Kutub ® Cartesius (r,q) Þ xp = r cos q yp = r sin q Cartesius ® Kutub                                (xp,yp) Þ = Öxp2 + yp2 tg q = yp/xp Þ q = ?

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b - sin a sin btg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a 

SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin bcos(a - b) = cos a cos b + sin a sin btg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a 

SUDUT RANGKAPsin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
 = 2 cos²a - 1
 = 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°



    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

Melukis Grafik 

y = a cos x + b sin xa cos x + b sin x = K cos (x - a)Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1
                               cos (x - a) = cos 0°                                            ® untuk x = a + n.360°Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1
                              cos (x - a) = cos 180° 
                        ® untuk x = a ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0   ® bila cos (x-a) = 0
                    cos (x-a) = cos 90° 
                ® untuk x = a ± 90° + n360°

semoga membantu......

Tweet